備忘のため投稿します。

使える文字、使えない文字色々あるようですが、PHPでは次の正規表現で抽出できると思います。
(2020年6月6日現在の内容です。ちょいちょい変わるようです。)

この例ではハッシュタグを抽出したら、その文字列をaリンクタグで囲むように置換しています。
オプションのUnicode「/u」は必須です。例の「rel = "noopener"」も追加しています。
$full_text = preg_replace('/(?:^|[^\w\x{05be}\x{05f3}\x{05f4}&_\/]+)
[##]([\w\x{05be}\x{05f3}\x{05f4}]*[\p{L}_\x{30FB}]+[\w\x{05be}\x{05f3}\x{05f4}]*)/u', '<a href="https://twitter.com/hashtag/$1" target="_blank" rel="noopener">#$1</a>', $full_text);
ただし、これの場合、直前の改行も置換する場合があるので、
文中のハッシュタグでない「#」の可能性を考慮せず、割り切ってしまえば、
$full_text = preg_replace('/[##]([\w\x{05be}\x{05f3}\x{05f4}]*[\p{L}_\x{30FB}]+[\w\x{05be}\x{05f3}\x{05f4}]*)/u', '<a href="https://twitter.com/hashtag/$1" target="_blank" rel="noopener">#$1</a>', $full_text);
でも良いかと思います。(良い方法あればご教示ください……)

なお、Twitter APIで本文を取得する際には、デフォルトだと115文字程度で省略されますので、
クエリオプションに「"tweet_mode" => "extended"」を追加するようにしましょう。
その際、本文の格納先が「text」から「full_text」になるので留意ください。

また、クエリ結果をデータベースに格納する場合は、
本文中の特殊絵文字が扱えるようにテーブルの文字コードを「UTF8MB4」にしてください。

いろいろ独特なAPIと感じています。
日々勉強していますが、ある程度の妥協も必要かと思いました。

【参考】
参考URLには中黒「・」対応(おそらく途中から使えるようになった?)と、
文中に出現した場合のハッシュ直前の抽出について追加しています。


追加したバージョンのテスト結果。
(.NET用なのでUnicodeが/u~となっています。PHPでは/x{~}となります。)
.NET Regex Tester - Regex Storm